En lineær funktion / sammenhæng danner en lige linje i koordinatsystemet. Lineære sammenhænge kendes fx fra:
Prisen på forskellige antal af en vare i en butik
Den afstand en bil har kørt efter et stykke tid med konstant hastighed fx på motorvej
Prisen for en taxatur efter et antal kilometer
Du kan ændre på konstanterne a og b i appletten herunder.
Fold teksten her ud for at få en yderligere forklaring.
I lineære sammenhænge betyder de to konstanter a og b følgende:
a: Hældningstallet / Hældningskoefficient.
Hældningstallet findes ved at finde forskellen i y-værdien hver gang x-værdien stiger med 1.
Konstanten a kan være enten positiv eller negativ. Det bestemmer om linjen er opadgående eller nedadgående.
Jo længere a er fra 0 desto mere stejl bliver hældningen på linjen. Hvis a er 0 bliver linjen vandret.
b: Skæringspunkt i y-aksen.
Konstanten b findes ved at finde skæringspunktet mellem grafen og y-aksen. Derefter tager man y-værdien fra koordinatsættet.
Se mere under appletten
Hældningstallet a findes ved at tage forskellen i y-værdien, når x stiger med 1.
Hældningstallet a kan således også findes ved
Sætte et punkt på linjen
Tælle ét tern til højre (x-værdien stiger med 1)
Tælle op eller ned indtil man møder linjen igen. Afstanden svarer til a.
Tæller man opad er a positiv. Tæller man nedad er a negativ.
Hvis a er 1 skriver man normalt ikke a med i funktionsforskriften, men lader blot x stå alene.
Hvis a er -1 skriver man normalt bare et - (minus) foran x.
Skæringpunktet i y-aksen b findes ved at undersøge
hvor linjen rammer y-aksen
Ser man på koordinatsættet hvor skæringspunktet svarer y-værdien til b.
b er positiv hvis skæringspunktet ligger over x-aksen, mens b er negativ hvis punktet ligger under x-aksen.
Hvis skæringspunktet ligger i krydset mellem x-, og y-akserne er b = 0. I dette tilfælde skriver man normalt ikke b med i funktionsforskriften.
Nogle gange kan a være angivet med en brøk, eller man skal finde et hældningstal som ikke er et heltal. Her kan man bruge følgende regel:
Afsæt 2 punkter (fx A og B)
Læg nu mærke til den lodrette og den vandrette afstand mellem punkterne.
I en brøk sættes den lodrette afstand i tælleren og den vandrette afstand i nævneren.
Regnes brøken om til decimaltal, vil resultatet svare til a.
Prøv selv i appletten ovenfor.
En funktionsværdi er den værdi funktionen giver når man indsætter et tal i stedet for x. Den beskrives som "y=" eller "f(x)="
Eksempel:
f(x) = 2x + 3 - Vi indsætter 3 i stedet for x og funktionen hedder nu:
f(3) = 2·3 + 3 = 9 - Man kan derfor skrive:
f(3) = 9
Funktionsværdien kan også aflæses grafisk:
Afsæt et punkt på grafen
Aflæs koordinatsættet
X-koordinatet er x-værdien
Y-koordinatet er funktionsværdien
Se beregning og grafisk aflæsning af funktionsværdi i appletten ovenfor.
Du skal besøge en ven et par kilometer udenfor byen, men der går desværre ingen busser og din cykel er i stykker. Du bliver derfor nødt til at tage en taxa.
Din ven bor 6 km væk
Chaufføren tager 10 kr. pr. km.
Chaufføren tager desuden et startgebyr på 50 kr.
I dette eksempel er konstanterne:
a = 10
Hældningstallet er 10, fordi prisen pr. km er 10 kr.
b = 50
Skæringspunktet i y-aksen er 50 fordi chaufførens startgebyr er 50 kr.
Prisen for en tur på 6 km er 110kr. Det kan aflæses ved det røde kryds